फलन frac{2x}{1 + x^2} का समाकलन कीजिए। | vedclass

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Question

(A) माना कि $1 + x^2 = t$ है। अतः,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2x \, dx = dt$ प्राप्त होता है। इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थाप

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$\log |1 + x^2| + C$

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(A) माना कि $1 + x^2 = t$ है। अतः,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2x \, dx = dt$ प्राप्त होता है। इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $\int \frac{2x}{1 + x^2} \, dx = \int \frac{1}{t} \, dt$। $t$ के सापेक्ष $\frac{1}{t}$ का समाकलन करने पर $\log |t| + C$ प्राप्त होता है। $t = 1 + x^2$ वापस रखने पर,हमें $\log |1 + x^2| + C$ प्राप्त होता है। चूंकि $1 + x^2$ सभी वास्तविक $x$ के लिए हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए हम इसे $\log (1 + x^2) + C$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

फलन $\frac{2x}{1 + x^2}$ का समाकलन कीजिए।

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$\int \frac{\operatorname{cosec} x}{3 \cos x+4 \sin x} d x=$

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$\int \left[ \frac{1+\log x}{\cos^{2}(x \log x)} \right] dx =$

यदि $\int \sin ^5 x \, dx = \frac{-\cos ^5 x}{5} + a \cos ^3 x + b \cos x + c$ है,तो $a + b =$

यदि $\int \cos ^k(x) \sin (x) d x = \frac{-1}{4} \cos ^4(x) + C$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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